Hamiltons Quaternions
$$ \begin{equation} \label{eq:quat_basic} q = w + x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k} \end{equation} $$式(\ref{eq:quat_basic})中 $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$ 视为与 x, y, z 轴重合的单位向量，计算时要考虑方向。
$$ \begin{align} \vec{i} \cdot \vec{j} = \vec{i} \cdot \vec{k} = \vec{j} \cdot \vec{k} = 0 \label{eq:ijk_first} \\ \vec{i} \times \vec{i} = \vec{j} \times \vec{j} = \vec{k} \times \vec{k} = -1 \\ \vec{i} \times \vec{j} = -\vec{j} \times \vec{i} = \vec{k} \\ \vec{j} \times \vec{k} = -\vec{k} \times \vec{j} = \vec{i} \\ \vec{k} \times \vec{i} = -\vec{i} \times \vec{k} = \vec{j} \label{eq:ijk_last} \end{align} $$Quaternion 是虚数，包含 1 个实部和 3 个虚部，在计算机中存储四个系数 $w$, $x$, $y$, $z$，类型为浮点数。由于历史原因，quaternion 在 glm 中的数据存储顺序有歧义，可以通过宏定义 GLM_FORCE_QUAT_DATA_WXYZ 指定数据存储顺序，源码实现如下：
// glm\detail\type_quat.inl
template <typename T, qualifier Q>
GLM_FUNC_QUALIFIER GLM_CONSTEXPR qua<T, Q>::qua(T _w, T _x, T _y, T _z)
#ifdef GLM_FORCE_QUAT_DATA_WXYZ
: w(_w), x(_x), y(_y), z(_z)
#else
: x(_x), y(_y), z(_z), w(_w)
#endif
{}
从欧拉角构造
$$
\begin{equation} \label{eq:quat_from_euler}
q = s + \vec{u} = \cos \frac{\theta}{2} + (x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k})\sin \frac{\theta}{2}
\end{equation}
$$式(\ref{eq:quat_from_euler})表示绕空间内某个向量$\vec{v}=(x, y, z)$旋转角度$\theta$所对应的 quaternion.
可以通过累乘 quaternion 来表示绕 3 个轴的旋转操作，注意 quaternion 乘法不满足交换律，先后绕轴的顺序会影响最终结果，因此同一个三维旋转对应的欧拉角表示不唯一，在不同的数学库中采用不同的规范。在 unity 中，旋转顺序为 ZXY ? ；在 glm 中，旋转顺序为 ZYX ? 。
// glm\detail\type_quat.inl
template<typename T, qualifier Q>
GLM_FUNC_QUALIFIER GLM_CONSTEXPR qua<T, Q>::qua(vec<3, T, Q> const& eulerAngle)
{
vec<3, T, Q> c = glm::cos(eulerAngle * T(0.5));
vec<3, T, Q> s = glm::sin(eulerAngle * T(0.5));
this->w = c.x * c.y * c.z + s.x * s.y * s.z;
this->x = s.x * c.y * c.z - c.x * s.y * s.z;
this->y = c.x * s.y * c.z + s.x * c.y * s.z;
this->z = c.x * c.y * s.z - s.x * s.y * c.z;
}
: glm::quat 输入欧拉角的构造函数
假设 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ 分别代表物体绕 x, y, z 轴上单位向量的旋转角度，那么对应的 3 个 quaternion 就是：
$$ \begin{align} q_\alpha &= \cos \frac{\alpha}{2} + \vec{i}\sin \frac{\alpha}{2} \\ q_\beta &= \cos \frac{\beta}{2} + \vec{j}\sin \frac{\beta}{2} \\ q_\gamma &= \cos \frac{\gamma}{2} + \vec{k}\sin \frac{\gamma}{2} \end{align} $$按照 ZYX 旋转顺序累乘得到最终的 quaternion，其叉乘公式如下：
$$ \begin{align} \label{eq:quat_mul} q_1 \times q_2 = (s_1s_2 - \vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2) + (s_1\vec{u}_2 + s_2\vec{u}_1 + \vec{u}_1 \times \vec{u}_2) \end{align} $$由于坐标轴是互相垂直的，结合式(\ref{eq:ijk_first})，上式中的点乘部分等于零，所以此处 quaternion 叉乘简化为：
$$ \begin{align} q_1 \times q_2 = s_1s_2 + s_1\vec{u}_2 + s_2\vec{u}_1 + \vec{u}_1 \times \vec{u}_2 \end{align} $$据此计算整体结果：
$$ \begin{flalign} \nonumber q &= q_\gamma \times q_\beta \times q_\alpha \\ \nonumber &= (\cos \frac{\gamma}{2} + \vec{k}\sin \frac{\gamma}{2}) \times (\cos \frac{\beta}{2} + \vec{j}\sin \frac{\beta}{2}) \times (\cos \frac{\alpha}{2} + \vec{i}\sin \frac{\alpha}{2}) \\ \nonumber &= (\cos \frac{\gamma}{2} \cdot \cos \frac{\beta}{2} + \cos \frac{\gamma}{2} \cdot \vec{j}\sin \frac{\beta}{2} + \cos \frac{\beta}{2} \cdot \vec{k}\sin \frac{\gamma}{2} + (\vec{k} \times \vec{j}) \sin \frac{\gamma}{2} \sin \frac{\beta}{2}) \\ \nonumber &\quad \times (\cos \frac{\alpha}{2} + \vec{i}\sin \frac{\alpha}{2}) \\ \nonumber &= (\cos \frac{\gamma}{2} \cos \frac{\beta}{2} + \vec{j} \cos \frac{\gamma}{2} \sin \frac{\beta}{2} + \vec{k} \cos \frac{\beta}{2} \sin \frac{\gamma}{2} - \vec{i} \sin \frac{\gamma}{2} \sin \frac{\beta}{2}) \\ \nonumber &\quad \times (\cos \frac{\alpha}{2} + \vec{i} \sin \frac{\alpha}{2}) \\ \nonumber &= \cos \frac{\gamma}{2} \cos \frac{\beta}{2} \cos \frac{\alpha}{2} + \vec{j} \cos \frac{\gamma}{2} \sin \frac{\beta}{2} \cos \frac{\alpha}{2} + \vec{k} \cos \frac{\beta}{2} \sin \frac{\gamma}{2} \cos \frac{\alpha}{2} - \vec{i} \sin \frac{\gamma}{2} \sin \frac{\beta}{2} \cos \frac{\alpha}{2} \\ \nonumber &\quad + \vec{i} \cos \frac{\gamma}{2} \cos \frac{\beta}{2} \sin \frac{\alpha}{2} + (\vec{j} \times \vec{i}) \cos \frac{\gamma}{2} \sin \frac{\beta}{2} \sin \frac{\alpha}{2} + (\vec{k} \times \vec{i}) \cos \frac{\beta}{2} \sin \frac{\gamma}{2} \sin \frac{\alpha}{2} - (\vec{i} \times \vec{i}) \sin \frac{\gamma}{2} \sin \frac{\beta}{2} \sin \frac{\alpha}{2} \\ \nonumber &= \cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2} + \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \sin \frac{\gamma}{2} \\ \nonumber &\quad + \vec{i} ( \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2} - \cos \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \sin \frac{\gamma}{2} ) \\ \nonumber &\quad + \vec{j} ( \cos \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2} + \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} \sin \frac{\gamma}{2} ) \\ \nonumber &\quad + \vec{k} ( \cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} \sin \frac{\gamma}{2} - \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2} ) \end{flalign} $$$$ \begin{flalign} \nonumber q &= q_\gamma \times q_\alpha \times q_\beta \\ \nonumber &= \cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2} - \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \sin \frac{\gamma}{2} \\ \nonumber &\quad + \vec{i} ( \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2} - \cos \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \sin \frac{\gamma}{2} ) \\ \nonumber &\quad + \vec{j} ( \cos \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2} + \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} \sin \frac{\gamma}{2} ) \\ \nonumber &\quad + \vec{k} ( \cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} \sin \frac{\gamma}{2} + \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2} ) \end{flalign} $$乘法
// glm\detail\type_quat.inl
template<typename T, qualifier Q>
template<typename U>
GLM_FUNC_QUALIFIER GLM_CONSTEXPR qua<T, Q> & qua<T, Q>::operator*=(qua<U, Q> const& r)
{
qua<T, Q> const p(*this);
qua<T, Q> const q(r);
this->w = p.w * q.w - p.x * q.x - p.y * q.y - p.z * q.z;
this->x = p.w * q.x + p.x * q.w + p.y * q.z - p.z * q.y;
this->y = p.w * q.y + p.y * q.w + p.z * q.x - p.x * q.z;
this->z = p.w * q.z + p.z * q.w + p.x * q.y - p.y * q.x;
return *this;
}
: glm::quat 乘法
把式(\ref{eq:quat_basic})代入式(\ref{eq:quat_mul})得到叉乘结果：
$$ \begin{flalign} \nonumber q_1 \times q_2 &= (s_1s_2 - \vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2) + (s_1\vec{u}_2 + s_2\vec{u}_1 + \vec{u}_1 \times \vec{u}_2) \\ \nonumber &= w_1w_2 - (x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2) \\ \nonumber &\quad + w_1x_2\vec{i} + w_1y_2\vec{j} + w_1z_2\vec{k} \\ \nonumber &\quad + w_2x_1\vec{i} + w_2y_1\vec{j} + w_2z_1\vec{k} \\ \nonumber &\quad + \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end{vmatrix} \\ \nonumber &= w_1w_2 - x_1x_2 - y_1y_2 - z_1z_2 \\ \nonumber &\quad + (w_1x_2 + x_1w_2 + y_1z_2 - z_1y_2)\vec{i} \\ \nonumber &\quad + (w_1y_2 + y_1w_2 + z_1x_2 - x_1z_2)\vec{j} \\ \nonumber &\quad + (w_1z_2 + z_1w_2 + x_1y_2 - y_1x_2)\vec{k} \end{flalign} $$旋转向量
// glm\detail\type_quat.inl
template<typename T, qualifier Q>
GLM_FUNC_QUALIFIER GLM_CONSTEXPR vec<3, T, Q> operator*(qua<T, Q> const& q, vec<3, T, Q> const& v)
{
vec<3, T, Q> const QuatVector(q.x, q.y, q.z);
vec<3, T, Q> const uv(glm::cross(QuatVector, v));
vec<3, T, Q> const uuv(glm::cross(QuatVector, uv));
return v + ((uv * q.w) + uuv) * static_cast<T>(2);
}
template<typename T, qualifier Q>
GLM_FUNC_QUALIFIER GLM_CONSTEXPR vec<3, T, Q> operator*(vec<3, T, Q> const& v, qua<T, Q> const& q)
{
return glm::inverse(q) * v;
}
: glm::quat 旋转向量
$$
\begin{flalign}
qvq^* &= (s + \vec{u}) \times (0 + \vec{v}) \times (s - \vec{u}) \label{eq:qvqstar_quatvec} \\
\nonumber
&= (- \vec{u} \cdot \vec{v} + s\vec{v} + \vec{u} \times \vec{v}) \times (s - \vec{u}) \\
\nonumber
&= - s\vec{u} \cdot \vec{v} + (s\vec{v} + \vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{u} \\
&\quad + (\vec{u} \cdot \vec{v})\vec{u} + s(s\vec{v} + \vec{u} \times \vec{v}) - (s\vec{v} + \vec{u} \times \vec{v}) \times \vec{u} \label{eq:qvqstar_simplify} \\
&= 2s\vec{u} \times \vec{v} + \vec{u} \times (\vec{u} \times \vec{v}) + (\vec{u} \cdot \vec{v}) \vec{u} + s^2\vec{v} \label{eq:qvqstar_half}
\end{flalign}
$$式(\ref{eq:qvqstar_simplify})化简时会遇到 $(\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{u}$，该项等同于 $\vec{v} \cdot (\vec{u} \times \vec{u})$，等于零 ? 。
单位 quaternion 满足 $s^2 + \vec{u}\cdot\vec{u} = 1$，即 $s^2 = 1 - \vec{u}\cdot\vec{u}$. 另外，根据向量叉乘规则 ? $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}$ 可得 $\vec{u} \times (\vec{u} \times \vec{v}) = (\vec{u} \cdot \vec{v})\vec{u} - (\vec{u} \cdot \vec{u})\vec{v}$，代入式(\ref{eq:qvqstar_half})，继续推导：
$$ \begin{flalign} \nonumber qvq^* &= 2s\vec{u} \times \vec{v} + \vec{u} \times (\vec{u} \times \vec{v}) + (\vec{u} \cdot \vec{v}) \vec{u} + (1 - \vec{u}\cdot\vec{u})\vec{v} \\ \nonumber &= 2s\vec{u} \times \vec{v} + \vec{u} \times (\vec{u} \times \vec{v}) + ((\vec{u} \cdot \vec{v}) \vec{u} - (\vec{u}\cdot\vec{u})\vec{v}) + \vec{v} \\ &= \vec{v} + 2s\vec{u} \times \vec{v} + 2\vec{u} \times (\vec{u} \times \vec{v}) \label{eq:qvqstar_crossres} \end{flalign} $$上式结果与 相同。在一些资料 ? 里使用另一种化简形式，可通过续接式(\ref{eq:qvqstar_half})展开 $\vec{u} \times \vec{u} \times \vec{v}$ 得到：
$$ \begin{flalign} \nonumber qvq^* &= 2s\vec{u} \times \vec{v} + \vec{u} \times (\vec{u} \times \vec{v}) + (\vec{u} \cdot \vec{v}) \vec{u} + s^2\vec{v} \\ \nonumber &= 2s\vec{u} \times \vec{v} + (\vec{u} \cdot \vec{v})\vec{u} - (\vec{u} \cdot \vec{u})\vec{v} + (\vec{u} \cdot \vec{v}) \vec{u} + s^2\vec{v} \\ &= (s^2 - \vec{u} \cdot \vec{u})\vec{v} + 2(\vec{u}\cdot\vec{v})\vec{u} + 2s(\vec{u}\times\vec{v}) \label{eq:qvqstar_dotres} \end{flalign} $$旋转矩阵
旋转矩阵用于在实数空间里旋转一个向量，程序里的常见做法是将 quaternion 转换为旋转矩阵然后放到模型变换矩阵中，交给显卡计算模型顶点位置。
// glm\gtc\quaternion.inl
template<typename T, qualifier Q>
GLM_FUNC_QUALIFIER mat<3, 3, T, Q> mat3_cast(qua<T, Q> const& q)
{
mat<3, 3, T, Q> Result(T(1));
T qxx(q.x * q.x);
T qyy(q.y * q.y);
T qzz(q.z * q.z);
T qxz(q.x * q.z);
T qxy(q.x * q.y);
T qyz(q.y * q.z);
T qwx(q.w * q.x);
T qwy(q.w * q.y);
T qwz(q.w * q.z);
Result[0][0] = T(1) - T(2) * (qyy + qzz);
Result[0][1] = T(2) * (qxy + qwz);
Result[0][2] = T(2) * (qxz - qwy);
Result[1][0] = T(2) * (qxy - qwz);
Result[1][1] = T(1) - T(2) * (qxx + qzz);
Result[1][2] = T(2) * (qyz + qwx);
Result[2][0] = T(2) * (qxz + qwy);
Result[2][1] = T(2) * (qyz - qwx);
Result[2][2] = T(1) - T(2) * (qxx + qyy);
return Result;
}
template<typename T, qualifier Q>
GLM_FUNC_QUALIFIER mat<4, 4, T, Q> mat4_cast(qua<T, Q> const& q)
{
return mat<4, 4, T, Q>(mat3_cast(q));
}
: glm::quat 转换旋转矩阵
旋转矩阵可从旋转向量小节旋转向量操作的公式中推导，点乘计算比叉乘简单，所以下面从式(\ref{eq:qvqstar_crossres})和式(\ref{eq:qvqstar_dotres})中选择式(\ref{eq:qvqstar_dotres})推导旋转矩阵。
首先赋予被旋转向量 $\vec{v}$ 在虚数空间中的位置参数 $v_x, v_y, v_z$，使其具有和式(\ref{eq:quat_basic})中的 quaternion 一样的形式，这里也是对式(\ref{eq:qvqstar_quatvec})的进一步细化：
$$ \begin{equation} \label{eq:quat_vec} \vec{v} = 0 + v_x\vec{i} + v_y\vec{j} + v_z\vec{k} \end{equation} $$然后使用式(\ref{eq:quat_basic})的符号展开简写的实数 $s$ 和向量 $\vec{u}$：
$$ \begin{equation} \label{eq:quat_extbasic} q = s + \vec{u} = w + x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k} \end{equation} $$将式(\ref{eq:quat_vec})和式(\ref{eq:quat_extbasic})代入(\ref{eq:qvqstar_dotres})继续推导：
$$ \begin{flalign} \nonumber qvq^* &= (s^2 - \vec{u} \cdot \vec{u})\vec{v} + 2(\vec{u}\cdot\vec{v})\vec{u} + 2s(\vec{u}\times\vec{v}) \\ \nonumber &= (w^2-x^2-y^2-z^2)(v_x\vec{i} + v_y\vec{j} + v_z\vec{k}) \\ \nonumber &\quad + 2(xv_x + yv_y +zv_z)(x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}) \\ \nonumber &\quad + 2w\left[(yv_z-zv_y)\vec{i} + (zv_x-xv_z)\vec{j} + (xv_y-yv_x)\vec{k}\right] \\ \nonumber &= \left[(w^2+x^2-y^2-z^2)v_x + 2(xy-wz)v_y + 2(xz+wy)v_z\right]\vec{i} \\ \nonumber &\quad + \left[2(xy+wz)v_x + (w^2-x^2+y^2-z^2)v_y + 2(yz-wx)v_z\right]\vec{j} \\ \nonumber &\quad + \left[2(xz-wy)v_x + 2(yz+wx)v_y + (w^2-x^2-y^2+z^2)v_z\right]\vec{k} \\ \nonumber &= \begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} w^2+x^2-y^2-z^2 & 2(xy-wz) & 2(xz+wy) \\ 2(xy+wz) & w^2-x^2+y^2-z^2 & 2(yz-wx) \\ 2(xz-wy) & 2(yz+wx) & w^2-x^2-y^2+z^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \end{pmatrix} \end{flalign} $$因此旋转矩阵即为：
$$ \begin{equation} \label{eq:quat_rotmat_nonunit} R = \begin{pmatrix} w^2+x^2-y^2-z^2 & 2(xy-wz) & 2(xz+wy) \\ 2(xy+wz) & w^2-x^2+y^2-z^2 & 2(yz-wx) \\ 2(xz-wy) & 2(yz+wx) & w^2-x^2-y^2+z^2 \end{pmatrix} \end{equation} $$单位 quaternion 满足 $w^2+x^2+y^2+z^2 = 1$，此时旋转矩阵也可以写成：
$$ \begin{equation} \label{eq:quat_rotmatunit} R = \begin{pmatrix} 1-2(y^2+z^2) & 2(xy-wz) & 2(xz+wy) \\ 2(xy+wz) & 1-2(x^2+z^2) & 2(yz-wx) \\ 2(xz-wy) & 2(yz+wx) & 1-2(x^2+y^2) \end{pmatrix} \end{equation} $$式(\ref{eq:quat_rotmatunit})与 旋转矩阵构造过程相同，注意 glm 每个内存行存储矩阵的列向量。
欧拉角变换
// glm\gtc\quaternion.inl
template<typename T, qualifier Q>
GLM_FUNC_QUALIFIER vec<3, T, Q> eulerAngles(qua<T, Q> const& x)
{
return vec<3, T, Q>(pitch(x), yaw(x), roll(x));
}
template<typename T, qualifier Q>
GLM_FUNC_QUALIFIER T roll(qua<T, Q> const& q)
{
return static_cast<T>(atan(static_cast<T>(2) * (q.x * q.y + q.w * q.z), q.w * q.w + q.x * q.x - q.y * q.y - q.z * q.z));
}
template<typename T, qualifier Q>
GLM_FUNC_QUALIFIER T pitch(qua<T, Q> const& q)
{
//return T(atan(T(2) * (q.y * q.z + q.w * q.x), q.w * q.w - q.x * q.x - q.y * q.y + q.z * q.z));
T const y = static_cast<T>(2) * (q.y * q.z + q.w * q.x);
T const x = q.w * q.w - q.x * q.x - q.y * q.y + q.z * q.z;
if(all(equal(vec<2, T, Q>(x, y), vec<2, T, Q>(0), epsilon<T>()))) //avoid atan2(0,0) - handle singularity - Matiis
return static_cast<T>(static_cast<T>(2) * atan(q.x, q.w));
return static_cast<T>(atan(y, x));
}
template<typename T, qualifier Q>
GLM_FUNC_QUALIFIER T yaw(qua<T, Q> const& q)
{
return asin(clamp(static_cast<T>(-2) * (q.x * q.z - q.w * q.y), static_cast<T>(-1), static_cast<T>(1)));
}
: glm::quat 转换欧拉角
假设 $\alpha, \beta, \gamma$ 分别是俯仰角(pitch)，偏航角(yaw)和滚动角(roll)，轴线分别是 $x, y, z$，使用欧拉角构造旋转矩阵得到 ? ：
$$ \begin{equation} R = \begin{pmatrix} \cos \gamma \cos \beta & \cos \gamma \sin \beta \sin \alpha - \sin \gamma \cos \alpha & \cos \gamma \sin \beta \cos \alpha + \sin \gamma \sin \alpha \\ \sin \gamma \cos \beta & \sin \gamma \sin \beta \sin \alpha + \cos \gamma \cos \alpha & \sin \gamma \sin \beta \cos \alpha - \cos \gamma \sin \alpha \\ -\sin \beta & \cos \beta \sin \alpha & \cos \beta \cos \alpha \end{pmatrix} \end{equation} $$对应式(\ref{eq:quat_rotmat_nonunit})，可以得到从 quaternion 到欧拉角的变换公式：
$$ \begin{align} \alpha = \arctan \frac{2(yz+wx)}{w^2-x^2-y^2+z^2} \\ \beta = \arcsin (-2)(xz-wy) \\ \gamma = \arctan \frac{2(xy+wz)}{w^2+x^2-y^2-z^2} \end{align} $$在变换欧拉角前要三思，Quaternion 有两个非常变态的特性：
使用某一欧拉角集合转换成 quaternion 再转换成欧拉角，输出结果与构造时的输入可能不一致 ? 。
由于 atan 函数值域没有 90° 角，该点无法从 quaternion 转换为欧拉角，俗称“奇点”，在旋转矩阵里也表现为万向节锁(Gimbal Lock)。
综合以上两点考虑，在程序中最好只进不出，尽可能避免将 quaternion 转换为欧拉角，如果需要欧拉角形式，直接缓存角度变量。